ヘッドライン



wellcome



過去記事

なぜ積分すると面積が求まるの?

2021年10月2日土曜日

科学

hello
t f B P L
>>おすすめ おまとめ<<

1 :名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:32:52 ID:U0q4
面積を微分すると導関数になるとかではない説明が知りたい
3: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:33:57 ID:VCa9

5: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:34:34 ID:U0q4
>>3
この説明じゃないのが欲しい
18: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:40:30 ID:hiFh
>>3でわからんなら諦めろ
22: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:42:13 ID:U0q4
>>18
3の説明は分かる
これよりももっと直感的な説明もある気がするのよ
4: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:34:12 ID:GdPd
日本語出おけ
6: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:34:36 ID:05fz
細長い長方形を足してるって考え方教わらんか?
7: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:35:29 ID:U0q4
>>6
なぜその計算が積分なの?
字数を上げるのはわかるけど、係数がわからない
10: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:36:21 ID:05fz
>>7
たしかに
8: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:35:54 ID:UnHs
心配せんでも大学で勉強するで
11: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:36:36 ID:U0q4
>>8
卒業したわ
13: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:37:25 ID:UnHs
>>11
じゃあ教科書読み返せカス
15: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:38:06 ID:U0q4
>>13
大学の数学に教科書なんてなかったわ
9: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:36:04 ID:lEjB
なるもんはなる
12: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:36:44 ID:U0q4
>>9
そういうの嫌い
14: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:37:47 ID:U0q4
昔なんかの説明見て納得した気がするんだけどなあ
16: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:38:31 ID:BWan
定積分、な?
17: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:39:12 ID:U0q4
>>16
定積分と不定積分ってどっちが先に開発されたの?
19: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:40:43 ID:BWan
>>17
そりゃ定積分やろ
一般に一般化の方が難しいんだから
20: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:41:19 ID:RZby

24: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:42:49 ID:U0q4
>>20
なぜその掛け算をすると次数が1上がって係数がつくの?
21: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:42:07 ID:EZFY
定積分やないの
そもそも物理現象の記述を一般化するために積分が生まれたんやないっけ
23: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:42:44 ID:uP2Z
リーマン積分は関数表現からだったはずだから一概にそうかは分からん
25: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:43:02 ID:vj51
微小な掛け算の足し合わせやからやろ
26: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:43:19 ID:U0q4
>>25
なぜその掛け算をすると次数が1上がって係数がつくの?
27: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:43:43 ID:BWan
積分は微分の逆だからや
29: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:45:16 ID:U0q4
>>27
その説明しかできないっけ?
32: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:47:00 ID:BWan
>>29
どういう説明を求めてるのか知らんが正しい説明なら全部言ってること同じやぞ
循環論法や
28: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:44:58 ID:U0q4
絶対わかりやすい説明あったわ
微小区間(1/t)かけるf(x)をt個足すと、次数が1上がって係数がこうやってつくでしょ的な
30: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:45:46 ID:1xfa
高校でやったけど結局積分の手順しか覚えてないわ
31: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:46:37 ID:RZby
極限で証明するけど書くのめんどい
34: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:47:20 ID:U0q4
>>31
それそれ
ヒントだけでも教えてくれませんか?
37: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:48:31 ID:U0q4
>>31
区間を小さくした分だけ足し合わせるってのは覚えてる
33: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:47:11 ID:14Cg
本質的にはシグマと変わらない
小さい領域に切ってそれぞれの面積だして合計したら全体の面積になるってだけ
35: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:47:40 ID:U0q4
>>33
なぜその掛け算をすると次数が1上がって係数がつくの?
36: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:48:27 ID:14Cg
>>35
次数が上がるってのがよくわからない
なにのこと言ってるんだ
39: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:48:57 ID:U0q4
>>36
積分って元の関数の次数を1上げるじゃん
43: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:50:42 ID:14Cg
>>39
元の関数が表してるものが変化率だからだよ
38: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:48:47 ID:EZFY
おんjで一生懸命やってるより自分でいろいろ探したほうがちゃんと覚えられそうやけど…
区分求積的に捉えれば比較的直感に近い(ワイ基準)
42: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:50:02 ID:U0q4
>>38
>>3の説明してるサイトはいくつもあるけど、それ以外の説明が見当たらないのよ
53: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:54:36 ID:U0q4
>>38
>>40
あ、これだ!!!!!!
58: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:58:44 ID:U0q4
>>53
いや、これか?
40: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:49:30 ID:H7XZ
区分求積法で検査くぅー
41: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:49:43 ID:EZFY
次数が上がらない関数もあるんだけどね
45: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:51:12 ID:U0q4
>>41
そうだよね
微分なら定義に当てはめれば算出できるけど、積分ってそうはいかないの?
44: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:50:59 ID:05fz
次数上がる理由ってあるんか?
三角関数ら対数関数もろもろって積分すると次数上がるってわけちゃうやん
積分すると次数が上がるって認識ではないんじゃないの
46: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:51:49 ID:Jerk
ばーか
面積を求める計算のことを「積分」って言うんだよ
47: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:52:15 ID:14Cg
>>46
面積以外も求まるぞ✌️
48: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:52:21 ID:uP2Z
>>46
これはある意味真理かもしれんな
67: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:05:07 ID:3mAW
>>48
ある意味じゃなくてマジで真理なんだって
どの数学の本にも書いてあるだろ
何ならWikipediaの一番最初にも書いてあるぞ
49: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:52:23 ID:a6Kq
積分する前のグラフは、そのときそのときの変化の割合のグラフ
それを積分したグラフは、変化の割合を累積していったやつのグラフ
50: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:53:46 ID:a6Kq
微分が変化の割合を算出する計算だから、積分は変化の割合を累積する計算なんだよ
51: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:54:08 ID:BWan
これあれだろ
訳もわからずシステマチックに計算させるからその法則性に引っ掛かってるだけだろ
そうなるもんはそうなるんだよ
52: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:54:31 ID:Jerk
で、面積を求める範囲を自由に変更できるようにすると(始点は固定)
数(範囲の終点)に面積を対応させる関数が定まる
この関数を微分すると元の関数に戻るんや
54: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:54:41 ID:oFcV
三角関数を積分するとどうなる?
56: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:56:55 ID:U0q4
>>54
そうそう、微分の反対が積分って思ってる知これを暗記しないといけないのよね
59: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:58:56 ID:05fz
区分求積法って limΣ と ∫ って同じだよねってだけで積分するときの計算の理屈とはちゃうやろ
62: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:00:11 ID:CNv8
>>59
そうだ
違ったわ
60: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:59:04 ID:Jerk
微分をすると元に戻る関数は、定数の変化を除いて一意に決まる
だから「微分をすると元に戻る関数」を見つけたら積分(つまり面積)も求められるというわけ
63: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:00:40 ID:CNv8
>>60
微分依存の説明しか出来ない?
61: 名無しさん@おーぷん:21/09/29(水)23:59:17 ID:EZFY

65: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:02:49 ID:V1UP

69: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:05:38 ID:CNv8
>>65
何で
f(x)=x^3 の時
(1/4)*b^4 - (1/4)*a^4
っていう計算になるの?
66: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:03:58 ID:AO8M
f'(x)を細切れにして足していくとf'(x)の面積が求まります
f(x)は、変化の割合f'(x)を細かく足していった累計を表しています
言いたいこと伝わるかな
72: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:06:30 ID:CNv8
>>66
それはわかります
80: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:10:16 ID:AO8M
微分が変化の割合求める計算やねんから、その逆の積分は「あるぐらふを変化の割合とみなして、それをもとにグラフを書く」計算で、なぜそのグラフが面積のグラフになるかというと
>>66
84: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:11:28 ID:CNv8
>>80
それは分かるけど、積分って微分に依存しないと説明できないの?
微分知らない人に積分を説明して欲しい
86: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:12:35 ID:AO8M
>>84
「あるグラフを変化の割合とみなしてグラフを書く計算」は、微分に依存した説明なのか
99: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:19:41 ID:mqc3
>>86
sinxを積分したらどうなる
x^2を積分したらどうなる
logxを積分したらどうなる
これらって全部、積分結果を微分したら元に戻らなきゃいけないから逆算してそれぞれ
-cosx
1/2x^3
xlogx-x ってなるやん
微分という計算を知らないで積分できないやんってことでしょ
88: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:13:42 ID:3mAW
>>84
ここに微分に依存しない積分の定義書いてる

90: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:15:37 ID:CNv8
>>88
この一定の極限値っていうのはどうやって算出するの?
多分ワイはそれが知りたい
94: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:17:18 ID:3mAW
>>90
確かにこのサイトにはこの極限値が存在することの証明は書いてないな
まあいろんな本に書いてあるんやが…
95: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:17:59 ID:CNv8
>>94
その極限値の証明は、どんなf(x)にも通用する証明なの?
97: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:18:55 ID:Hih2
>>95
ここでは連続関数の時だと思われる
微積分の基本定理はだいたいそれを仮定してるし
98: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:19:07 ID:3mAW
>>95
良い質問だわ、ワイらが普通使う大抵の関数(連続関数)に通用する
でも通用しないものも実はある(面積が定まらない関数)
100: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:20:58 ID:CNv8
>>98
なるほど!
ワイにとっては連続関数に適用できれば十分だわ、証明方法調べてみるわ、ありがとう!
101: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:21:03 ID:3mAW
>>95
ここに"通用しない関数"の例がある

104: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:24:10 ID:CNv8
>>101
ありがとう!
でもパッと読んだだけでは理解できない笑
また読んでみます
107: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:26:43 ID:3mAW
>>104
まあこれはマニアックな例なので、
まずは連続関数の区分求積が収束(極限値を持つ)ことの証明を調べてみるとええで
頑張りや
イプシロンデルタを使わない証明も確かあったと思う
108: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:28:07 ID:CNv8
>>107
なるほど
っていうか連続関数なら面積求まるってすごすぎ
110: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:30:27 ID:mqc3
>>107
お前賢そうやん
>>106これについてはどうなんや
定義とかそういんじゃなく実際に積分するときに微分の逆算以外の説明ってあるんか?
112: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:36:56 ID:3mAW
>>110
定義じゃなくて積分の具体的な値について
微分の逆算以外の説明(計算方法)はあるのか?
って質問か?
なら、微分の逆算を使わない方法は沢山ある
積分される関数にもよるけど
115: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:41:14 ID:mqc3
>>112
そやでてかそれがイッチの疑問やん
一般的なxのべき乗の場合はどう説明できるんや?
71: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:06:27 ID:mqc3
こんだけ有識者が集まって「面積を求めるためには微分の逆をしなきゃいけない」以外の説明が出てない以上そういうことやろう
なぜ微分の逆をしなきゃいけないかの理屈はイッチ含めほとんどの人は知ってると思うわ
73: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:06:52 ID:CNv8
>>71
そうそうそうそう
74: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:07:05 ID:7XOo
>>71
おんjに有識者が集まるわけないだろ
76: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:07:42 ID:CNv8
>>74
時々おるやろ
それに賭けてきたんやが…
75: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:07:34 ID:V1UP

78: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:08:31 ID:CNv8
>>75
そうそう、次数増える気持ちは分かる
でも係数が綺麗に微分の逆になる不思議
81: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:10:28 ID:TQtz
だから「積分は微分の逆」っていう帰結は数多くの数学者の叡智の結晶なのよ
その答えから逆算することができる今ですら自分で納得するまで考えようとしないなら数学のセンスないで
87: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:13:08 ID:CNv8
>>81
別に微分の逆ってだけで納得してるし、それさえ理解してれば積分を使うに値するのも分かる
でももっと綺麗な証明があるんや
91: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:16:12 ID:TQtz
>>87
散々次数や係数にこだわってたのはどこのどいつだよ
だから積分は微分の逆って説明したんだろ…
96: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:18:27 ID:CNv8
>>91
だからそれを微分の逆って説明以外で証明して欲しいってこと
85: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:12:33 ID:K6jS
正方形の面積も積分で出せるって授業で聞いて感動したの覚えてる
89: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:13:48 ID:V1UP

92: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:16:41 ID:CNv8
>>89
ほうほう、今までで一番良い説明
これを汎化させる方法が知りたい
93: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:16:42 ID:V1UP

102: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:22:11 ID:fCLE
区分求積法と普通の定積分の違いがよくわかってない
103: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:23:58 ID:Hih2
>>102
言ってしまえば一緒や
極限と総和を積分に変換して簡単に計算する手法ってだけ
105: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:24:55 ID:V1UP
とりあえず解決か?
じゃあワイはタママちゃん抱いて寝ますね

106: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:26:38 ID:mqc3
面積求めるためには微分の逆行解析をすればいい、とか
区分求積法とかリーマン積分とかこの場におるやつはほぼ全員理解してるねん
で実際に積分するとき∫(x^2+x)=1/3x^3+1/2x^2+…っていう計算を、微分の逆算以外の方法で説明できないよね?ってスレやん
実際そうなんやろ?
109: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:28:41 ID:CNv8
>>106
そう、そういうスレよ
113: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:38:32 ID:3mAW
微分を知らなかったギリシャ人(アルキメデスとか)も
色々工夫して個別の関数の積分(面積)を求めてたし
超絶技巧を駆使してな
114: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:39:57 ID:CNv8
>>113
簡単ではないんだな
116: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:41:58 ID:3mAW
>>114
全然簡単ではない、しかも積分される関数に特化した方法や
微分・積分の偉大なところは
ワイらが普通に使う多くの関数が
「微分の逆」という比較的簡単な方法で面積を求められるようになったということなんや
118: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:42:59 ID:CNv8
>>116
はえー、これは連続関数なら同じ証明ができるわけじゃないのか
120: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:48:59 ID:3mAW
微分(接線の傾きを求める方法)と積分(面積を求める方法)
はもともと別個に研究されていたもので
はじめは全然関係ないと思われていた。
実はこの二つは関係あって、
「微分の逆をやると積分を求められるんだ」
ってことに気づいたのが、
ニュートンとライプニッツの偉大な発見。
123: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:53:01 ID:CNv8
>>120
やっぱそうよな
直感的には関係なさそうだもん
124: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:53:58 ID:3mAW
>>123
まあそうだよな、
このことに人類が気づくのに何百年何千年とかかったからな
121: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:49:01 ID:OcNO
横dx縦f(x)の長方形を足してけば面積なるやん
125: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:55:32 ID:CNv8
>>121
f(x)=x^2 をa〜bの区間の面積を求めるときに、
1/3(b^3-a^3) になるのが不思議
何が不思議って係数が1/3になるところ
129: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)01:07:52 ID:OcNO
>>125
一応>>1の書き込みざっとみたけどもう納得いったんやろ?
はさみうち使う説明は(ググって)確認したけど挟みうちだとダメなんだっけ?
126: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:55:49 ID:Xez4
そもそも積分ってのが面積求めるために発明されたんよ
127: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)00:56:39 ID:CNv8
>>126
そう!
それなのに微分の逆としか説明できないのが不思議
128: 名無しさん@おーぷん:21/09/30(木)01:05:31 ID:Xez4
>>127
計算的にはそうだね
微分の計算が簡単だから検算考えるとそうなっちゃうよね
歴史的には積分の方が先に発明されたのにね
【元スレ】https://hayabusa.open2ch.net/test/read.cgi/livejupiter/1632925972

まるの制作部(動画、プログラム、絵、ブログ運営)

ヘッドライン



farewell

カテゴリ

このブログを検索

自己紹介

自分の写真
作らなきゃ(使命感)

QooQ